直线l过点M（2，1）且分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点． （Ⅰ）当△OAB的面积最小时，求直线l的方程； （Ⅱ）当|MA|•|MB|取最小值时，求直线l的方程．
问题描述：
直线l过点M（2，1）且分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）当△OAB的面积最小时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当|MA|•|MB|取最小值时，求直线l的方程．
答
（I）设直线l方程为
+x a
＝1（a、b均为正数），y b
∵l过点M（2，1），
∴
+2 a
＝1．1 b
∵1=
+2 a
≥21 b
，化简得ab≥8，当且仅当
•2 a
1 b
＝2 a
时，即a=4，b=2时，等号成立，1 b
∴当a=4，b=2时，ab有最小值8，
此时△OAB面积为S=
ab=4达到最小值．1 2
直线l的方程的方程为
+x 4
＝1，即x+2y-4=0．y 2
（II）过M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为P、N
设∠MAP=α，则Rt△MPA中，
sinα=
，得|MA|=|MP| |MA|
=|MP| sinα
，1 sinα
同理可得：|MB|=
2 cosα
∴|MA|•|MB|=
=2 sinαcosα
4 sin2α
∵sin2α∈（0，1]，
∴当2α=90°时，即α=45°时，sin2α=1达到最大值，|MA|•|MB|=
=4达到最小值，4 sin2α
此时直线l的斜率k=-1，得直线l方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0．