x^3e^(-2)xdx的不定积分是多少?
问题描述：
x^3e^(-2)xdx的不定积分是多少?
答
先换元
t=-2x
x=-t/2
x^3=-t^3/8
dx=(-1/2)dt
原积分=积分 -t^3/8*e^t*(-1/2)dt
=(1/16)积分t^3e^tdt
分部
=(1/16)积分t^3d(e^t)
=(1/16)[e^t*t^3-积分3t^2d(e^t)]
=(1/16)[e^t*t^3-3t^2e^t+6积分td(e^t)]
=(1/16)[e^t*t^3-3t^2e^t+6te^t-6积分1d(e^t)]
=(1/16)[e^t*t^3-3t^2e^t+6te^t-6e^t]
代回t=-2x
=(1/16)[-8x^3e^(-2x)-12x^2e^(-2x)-12xe^(-2x)-6e^(-2x)]
=(-1/8)[4x^3+6x^2+6x+3]e^(-2x)