一个关于解析几何的问题

问题描述:

一个关于解析几何的问题
f(x,y)=0,g(x,y)=0分别为两个曲线的方程,那么为什么过这两条曲线公共点的方程可以表示为F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)?
假设f(x,y)=0,g(x,y)=0这两条曲线没有公共点,那么用F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)来表示会出现什么情况?可用圆来举例说明.
假设f(x,y)=0,g(x,y)=0为两个圆的方程,且二圆无交点,那么二圆公共弦所在直线方程G(x,y)=f(x,y)-g(x,y)会是怎样的一条直线?
以上问题只要说清楚就行了,最好能举例说明,能够证明当燃再好不过了.
对不起,问题中的F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)和G(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)全改为F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)=0和G(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)=0
对于问题一我想补充问一点:
对于f(x,y)=0,g(x,y)=0两条曲线的公共点(x1,y1)是满足F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)=0的
那么F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)=0是否就一定能表示过f(x,y)=0,g(x,y)=0两条曲线的公共点的曲线呢,假如f(x,y)=-λ,g(x,y)=1的话一样也满足F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)=0呀,那么为什么F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)=0不能表示过曲线f(x,y)+λ=0,g(x,y)-1=0公共点的曲线方程呢?

1.应该是f(x,y)+λg(x,y)=0(你漏掉了=0)
证明:任取(x1,y1)为公共点,则(x1,y1)也在f(x,y)+λg(x,y)=0上.即f(x,y)+λg(x,y)=0包含了f(x,y)=0,g(x,y)=0所有的公共点.
但f(x,y)+λg(x,y)=0漏掉g(x,y)本身.
做题时发生意外,可用F(x,y)=λf(x,y)+g(x,y)(漏掉f(x,y)本身)代替.
2.什么也不能表示.
如x^2+y^2=1和x^2+y^2=2
相加后x^2+y^2=3,和原来的几乎没有关系(圆心同是因为举例的x^2+y^2=1和x^2+y^2=2圆心同).
3.也是什么都不表示.
所以做题是用到应先考虑有无公共点.这是解析几何的基础.