已知关于x的不等式ax−5x−a<0的解集为M. (1)当a=1时,求集合M; (2)当3∈M且5∉M时,求实数a的范围.

问题描述:

已知关于x的不等式

ax−5
x−a
<0的解集为M.
(1)当a=1时,求集合M;
(2)当3∈M且5∉M时,求实数a的范围.

(1)当a=1时,

x−5
x−1
<0,解得 1<x<5,∴M=(1,5).…(5分)
(2)∵3∈M,∴
3a−5
3−a
<0,解得a<
5
3
,或a>3.①…(8分)
∵5∉M,∴
5a−5
5−a
<0不成立,即 a<1,或a>5不成立,∴1≤a≤5,②…(11分)
由①②知 1≤a<
5
3
,或3<a≤5,即实数a的范围为[1,
5
3
)∪(3,5].…(12分)