已知f(x)=﹣x-x³,x1,x2,x3∈R且x1+x2>0,x2+x3>0,x1+x3>0.求证:f(x1)+f(x2)+f(x3)<0

问题描述:

已知f(x)=﹣x-x³,x1,x2,x3∈R且x1+x2>0,x2+x3>0,x1+x3>0.求证:f(x1)+f(x2)+f(x3)<0

f(x1)+f(x2)+f(x3)=﹣x1-x1³-x2-x2³-x3-x3³
=-1/2(x1+x2)-1/2(x2+x3)-1/2(x1+x3)-1/2(x1³+x2³)-1/2(x3³+x2³)-1/2(x1³+x3³)
应为 x1+x2>0,x2+x3>0,x1+x3>0.所以 前三项都小于0
讨论后三项
a³+b³=(a+b)*(a²+ab+b²)
应为a²+ab+b²=a²+ab+1/4b²+3/4b²=(a+1/2b)²+3/4b²≥0
应为a+b>0
所以
a³+b³=(a+b)*(a²+ab+b²)≥0
所以 后三项-1/2(x1³+x2³)≤0
所以 原式<0
注:主要用到了 立方和公式