已知a,b,c是不全相等的正数,求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)>16abc.

问题描述:

已知a,b,c是不全相等的正数,求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)>16abc.

证明:∵ab+a+b+1=(a+1)•(b+1),ab+ac+bc+c2=(a+c)•(b+c),
∴(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)=(a+1)•(b+1)•(a+c)•(b+c),
∵a,b,c是正数,
∴a+1≥2

a
>0,b+1≥2
b
>0,a+c≥2
ac
>0,b+c≥2
bc
>0,
又a,b,c是不全相等的正数,
∴(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)>2
a
×2
b
×2
ac
×2
bc
=16abc,
∴(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)>16abc.