已知实数a、b满足a-2b+3≥0，且使得函数f(x)＝13x3+ax2+bx无极值，则b+1a+2的取值范围为（　　） A.[−25−4，25−4] B.[25−4，1314] C.[25−4，2] D.[1314，2]

答

f′（x）=x²+2ax+b，
因为函数f（x）无极值，所以有△=4a²-4b≤0，即a²≤b．
又a-2b+3≥0，则满足条件的点（a，b）构成的区域如下阴影所示：
由

a-2b+3=0 a2=b

解得a=-1或

3

2

，则两交点为（-1，1），（

3

2

，

9

4

），

b+1

a+2

的几何意义为两点（a，b），（-2，-1）间连线的斜率，
则斜率最大值为

1-(-1)

-1-(-2)

=2，
设过点（-2，-1）的切线方程为b+1=k（a+2）①，a²=b②，由①②消b得a²-ka-2k+1=0，则△=k²-4（-2k+1）=0，解得k=-4+2

5

，-4-2

5

（舍），
即斜率的最小值为-4+2

5

．
所以

b+1

a+2

的取值范围为[2

5

-4，2]．
故选C．