已知实数a、b满足a-2b+3≥0,且使得函数f(x)=13x3+ax2+bx无极值,则b+1a+2的取值范围为(  )A. [−25−4,25−4]B. [25−4,1314]C. [25−4,2]D. [1314,2]

问题描述:

已知实数a、b满足a-2b+3≥0,且使得函数f(x)=

1
3
x3+ax2+bx无极值,则
b+1
a+2
的取值范围为(  )
A. [−2
5
−4,2
5
−4]

B. [2
5
−4,
13
14
]

C. [2
5
−4,2]

D. [
13
14
,2]

作业帮 f′(x)=x2+2ax+b,
因为函数f(x)无极值,所以有△=4a2-4b≤0,即a2≤b.
又a-2b+3≥0,则满足条件的点(a,b)构成的区域如下阴影所示:

a-2b+3=0
a2=b
解得a=-1或
3
2
,则两交点为(-1,1),(
3
2
9
4
),
b+1
a+2
的几何意义为两点(a,b),(-2,-1)间连线的斜率,
则斜率最大值为
1-(-1)
-1-(-2)
=2,
设过点(-2,-1)的切线方程为b+1=k(a+2)①,a2=b②,由①②消b得a2-ka-2k+1=0,则△=k2-4(-2k+1)=0,解得k=-4+2
5
,-4-2
5
(舍),
即斜率的最小值为-4+2
5

所以
b+1
a+2
的取值范围为[2
5
-4,2].
故选C.
答案解析:先求导数f′(x),根据函数f(x)无极值可得f′(x)=0至多有一实根,从而可得关于a,b的不等式,连同a-2b+3≥0可作出满足条件的点(a,b)构成的区域,
b+1
a+2
的几何意义为两点(a,b),(-2,-1)间连线的斜率,利用线性规划知识即可求得斜率的最大值及最小值.
考试点:函数在某点取得极值的条件;简单线性规划.
知识点:本题考查函数在某点取得极值的条件及线性规划知识,考查学生综合运用知识分析问题的能力,解决本题的关键是对
b+1
a+2
的几何意义的理解及正确转化,本题属中档题.