已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]内有最大值-5,求a的值及函数表达式f(x).

问题描述:

已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]内有最大值-5,求a的值及函数表达式f(x).

解∵f(x)=-4(x−

a
2
)2-4a,此抛物线顶点为(
a
2
,−4a)

a
2
≥1,即a≥2时,f(x)取最大值-4-a2.令-4-a2=-5,得a2=1,a=±1<2(舍去).
当0<
a
2
<1,即0<a<2时,x=
a
2
时,f(x)取最大值为-4a,令-4a=-5,得a=
5
4
∈(0,2).
a
2
≤0,即a≤0时,f(x)在[0,1]内递减,∴x=0时,f(x)取最大值为-4a-a2
令-4a-a2=-5,得a2+4a2-5=0,解得a=-5,或a=1,其中-5∈(-∞,0].
综上所述,a=
5
4
或a=-5时,f(x)在[0,1]内有最大值-5.
∴f(x)=-4x2+5x-
25
16
或f(x)=-4x2-20x-5.