已知f（x）连续，∫x0tf(x−t)dt＝1−cosx，求∫π20f(x)dx的值．
问题描述：
已知f（x）连续，
tf(x−t)dt＝1−cosx，求
∫
x0
f(x)dx的值．
∫
0π 2
答
解； 令u=x-t，则当t=0时，u=x；t=x时，u=0；且du=-dt
因此
tf(x−t)dt＝−
∫
x0
(x−u)f(u)du＝
∫
0x
(x−u)f(u)du
∫
x0
=x
f(u)du−
∫
x0
uf(u)du＝1−cosx
∫
x0
∴x
f(u)du−
∫
x0
uf(u)du＝1−cosx两端对x求导得：
∫
x0
f(u)du+xf(x)−xf(x)＝sinx
∫
x0
即：
f(u)du＝sinx
∫
x0
在上式中，令x＝
，便得π 2
f(x)dx=sin
∫
0π 2
＝1π 2