设f(x)在【0,1】上连续,(0,1)可导.f(0)=0 ,f(1)=1.证明:存在C属于(0,1)使f(c)=1-c

问题描述:

设f(x)在【0,1】上连续,(0,1)可导.f(0)=0 ,f(1)=1.证明:存在C属于(0,1)使f(c)=1-c
设f(x)在【0,1】上连续,(0,1)可导.f(0)=0,f(1)=1.证明:存在C属于(0,1)使f(c)=1-c

证明:
令F(x)=f(x)+x-1
因为f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)可导,
所以F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)可导,

F(0)=f(0)+0-1=-1F(1)=f(1)+1-1=1>0
F(x)在[0,1]必有零点 所以存在f(c)+c-1=0即f(c)=1-c