已知直线l的方程y=mx+m^2,抛物线C1的顶点和椭圆C2的中心都在坐标原点,且它们的焦点均在y轴上,当m=1时,直线l与抛物线C1有且只有一个公共点,求抛物线C1的方程

问题描述:

已知直线l的方程y=mx+m^2,抛物线C1的顶点和椭圆C2的中心都在坐标原点,且它们的焦点均在y轴上,
当m=1时,直线l与抛物线C1有且只有一个公共点,求抛物线C1的方程

设抛物线方程为x²=2px(因为抛物线的焦点均在y轴上,且顶点在原点)
当m=1时,直线方程为:y=x+1,即x=y-1,将其带入抛物线方程有:
y²-2y(1-p)+1=0,因为直线l与抛物线C1有且只有一个公共点,则根据判别式有:
△=0,即b²-4ac=4(1-p)²-4=0.即8p²-8p=0,(因为p≠0),则p=1
则抛物线方程为:x²=2y