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已知椭圆D：x250+y225=1与圆M：x2+（y-5）2=9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 22:38:32
问题描述：

已知椭圆D：

x2
50
+
y2
25
=1与圆M：x2+（y-5）2=9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

答

∵椭圆D

x2
50
+
y2
25
=1的两个焦点F1（-5，0），F2（5，0），因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c=5．
设双曲线G的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）
∴渐近线为bx±ay=0且a2+b2=25，
∵圆心M（0，5）到两条渐近线的距离为r=3，
∴
|5a|
 a2+b2
=3，即
5|a|
5
=3，解得a=3，b=4，
∴G方程为
x2
9
-
y2
16
=1．
答案解析：依题意，设双曲线G的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），从而得到其渐近线方程，由椭圆方程可求得双曲线G的两个焦点F1（-5，0），F2（5，0），利用圆心M（0，5）到两条渐近线的距离为r=3即可求得a，b，从而可得双曲线G的方程．
考试点：双曲线的标准方程；椭圆的简单性质．
知识点：本题考查双曲线的标准方程与椭圆的简单性质，考查点到直线间的距离公式，属于中档题．

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