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已知椭圆C：x216+y29=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:02:03
问题描述：

已知椭圆C：

x2
16
+
y2
9
=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．

答

设弦中点为M（x，y），交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．
∴（y2-y1）（x-1）=（x2-x1）（y-2），①
由

x12
16
+
y12
9
=1，
x22
16
+
y22
9
=1两式相减得
(x1−x2) (x1+x2) 
16
+
(y1−y2)  (y1+y2) 
9
=0．
又x1+x2=2x，y1+y2=2y，
∴
2x(x1−x2) 
16
=-
2y(y1−y2) 
9
，②
由①②可得：9x2+16y2-9x-32y=0，③
当点M与点P重合时，点M坐标为（1，2）适合方程③，
∴弦中点的轨迹方程为：9x2+16y2-9x-32y=0．

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