用洛必达法则求极限当x趋向与0时,(((1+x)^(1/x)-e))/x
问题描述：
用洛必达法则求极限当x趋向与0时,(((1+x)^(1/x)-e))/x
答
这个题目难处理的是分子上的e,可以运用洛必达法则,但也可以通过处理后运用等价无穷小代换
下面运用等价无穷小代换
lim(x→0） (((1+x)^(1/x)-e))/x
=lim(x→0） (((1+x)^(1/x)/e-1))/(ex)
=lim(x→0） {e^[ln(1+x)^(1/x)/e]-1}/(ex)
=lim(x→0） ln(1+x)^(1/x)/e]/(ex)
=lim(x→0） [ln(1+x)/x-1]/(ex)
=lim(x→0） [ln(1+x)-x]/(ex^2)
=lim(x→0） [1/(1+x)-1]/(2ex)
=lim(x→0） -x/[(1+x)(2ex)]
=-1/(2e)