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鸡兔同笼问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题,解决鸡兔同笼问题的常用方法是假设法,即根据题目中的已知条件或结论做出某种假设,然后根据假设进行推算,对数量上出现的矛盾进行适当调整从而找到正确答案的方法.对于一些复杂的鸡兔同笼问题,还可以利用其他数学方法帮助我们解决问题.
一、问题的提出
大、小猴子共35只一起去采桃子.猴王不在的时候,一只大猴子一小时可采15千克,一只小猴一小时可采ll千克.猴王在场监督的时候,每只猴子不论大小每小时都可以多采摘12千克.它们一天采桃8小时,共采了4400千克桃子.在这个猴群中,共有小猴子多少只?
这道题是由基本的鸡兔同笼问题转变而来的.因为在这道题目中大猴与小猴的只数和猴王在场与不在场的时间都是未知的,直接采用假设法解决问题会非常复杂.但是,如果在解决问题中能够巧妙运用转化方法将复杂的问题转化为简单的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题,这道看起来很复杂的鸡兔同笼问题解决起来就会变得很简单.
二、巧用转化思想
第一步,将猴王在场转化为猴王不在场
从题目中可知“猴王在场监督的时候,每只猴子不论大小每小时可以多采12千克桃子.”设猴王在场监督了x小时,如果没有猴王在场监督,每只猴子都要少采12x千克桃子,35只大、小猴子共少采35×12x=420x千克桃子.用总数糊0千克去掉少采的桃子数量,即4400一420x千克,这样就把题目中猴王在场与不在场的两种情况统一为只有猴王在场的情况.
第二步,将8小时转化为1小时.
因为4400一420x千克是35只大、小猴子8小时采桃子的数量,35只大、小猴子一小时共采桃子：4400-420x/8千克.通过将8小时采桃子的数量转化成1小时采桃子的数量,上面这道复杂的鸡兔同笼问题就变成了一道基本的鸡兔问题：“大、小猴子共35只,它们一起去采摘桃子.一只大猴子一小时可采摘15千克,一只小猴子一小时可采摘11千克,每小时大、小猴子共采摘水蜜桃4400-420x/8千克.在这个猴群中,共有小猴子多少只?”下面就可以用解决鸡兔同笼问题的假设法来解答本题了.
三、问题解决
假设35只猴子全部都是大猴子,那么每小时采桃15×35=525千克,比实际多采桃525-4400-420x/8千克.因为每只小猴每小时比大猴少采桃15一11=4千克,所以共有小猴：
因为小猴子的数量是整数,即105x一50要能够被8整除.经试验发现x=2.
所以共有小猴(105×2—50)÷8=20只.
鸡兔同笼问题可以有多种变化,解题方法也多种多样.在思考问题时可以运用多种数学思想以达到解题效果的最优化.