如图:E在线段CD上,EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,点F在线段AB上运动,AD=4cm,BC=3cm,且AD∥BC.(1)你认为AE和BE有什么位置关系?并验证你的结论;(2)当点F运动到离点A多少cm时,△ADE才能和△AFE全等?为什么?(3)在(2)的情况下,此时BF=BC吗?为什么?并求出AB的长.

问题描述:

如图:E在线段CD上,EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,点F在线段AB上运动,AD=4cm,BC=3cm,且AD∥BC.
(1)你认为AE和BE有什么位置关系?并验证你的结论;
(2)当点F运动到离点A多少cm时,△ADE才能和△AFE全等?为什么?
(3)在(2)的情况下,此时BF=BC吗?为什么?并求出AB的长.

(1)AE⊥BE;(1分)
∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,
∴∠2=

1
2
∠DAB,∠3=
1
2
∠ABC,
∵AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠AEB=90°,
∴AE⊥BE;(3分)
(2)当点F运动到离点A为4cm(即AF=AD=4cm)时,△ADE≌△AFE;(4分)
∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
在△AFE与△ADE中有∠1=∠2,AE=AE,AF=AD,
∴△AFE≌△ADE;(6分)
(3)BF=BC;
∵△AFE≌△ADE,
∴∠D=∠5,
∵AD∥BC,
∴∠D+∠C=180°,
∵∠5+∠6=180°,
∴∠C=∠6,
在△ECB与△EFB中有
∠3=∠4
∠C=∠6
BE=BE

∴△ECB≌△EFB,
∴BF=BC.(8分)
∵AF=AD=4cm,BF=BC=3cm,
∴AB=AF+BF=3+4=7(cm).(10分)
答案解析:(1)由角平分线性质和平行线内同旁内角互补,易得∠AEB=90°,从而确定AE⊥BE.
(2)可以这样理解,即当△ADE与△AFE全等时,求AF的长,可得解AF=AD=4cm.
(3)寻找条件证明△ECB≌△EFB,可得BF=BC.再由AF=AD=3cm,BF=BC=4cm,即可得AB的长.
考试点:全等三角形的判定.

知识点:本题主要考查三角形全等的判定,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.还涉及到角平分线的性质,平行线的性质,同学们要灵活运用.