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设x≥1，y≥1，证明：x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy．

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:03:57

问题描述：

设x≥1，y≥1，证明：x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy．

答

证明：要证x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy，
只需证明

1

xy

−

1

x

−

1

y

≤xy−x−y，
只需证明(1−

1

x

)(1−

1

y

)≤(1−x)(1−y)=（x-1）（y-1），
只需证明1-

1

x

≤x-1；1-

1

y

≤y-1，
即证x+

1

x

≥2，y+

1

y

≥2，（x≥1，y≥1）这是均值不等式，
所以x≥1，y≥1，x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy得证．