设n阶矩阵A满足方程A^2-2A+I=O,试证：A^3=3A-2I,A^4=4A-3I
问题描述：
设n阶矩阵A满足方程A^2-2A+I=O,试证：A^3=3A-2I,A^4=4A-3I
.RT
答
因为 A^2-2A+E=0
所以 A^2=2A-E
等式 A^2-2A+E=0 两边左乘A得
A^3-2A^2+A=0
所以 A^3=2A^2-A=2(2A-E)-A=3A-2E
所以 A^4=3A^2-2A=3(2A-E)-2A=4A-3E