求问高等代数题.等价合同相似正交相似关系,

(1) 任意矩阵总可以由初等变换化为[Er,0;0,0],其中r是矩阵的秩.由于初等变换保持矩阵的秩,所以对不同的r,[Er,0;0,0]属于不同的等价类.于是[Er,0;0,0],r = 0,1,2,...,n,给出了矩阵的相抵标准型.又[Er,0;0,0]也是实对...首先, 若一个反对称阵满秩, 则其阶数为偶数.
因为若A为奇数阶反对称阵, 由A' = -A, 取行列式得:
|A| = |A'| = |-A| = (-1)^n·|A| = -|A| (A的阶数n为奇数), 故|A| = 0, A不满秩.
奇数阶反对称阵不满秩, 即满秩反对称阵阶数为偶数.

设A是一个n阶反对称阵, 其秩r(A) = r.
于是方程组AX = 0的基础解系有n-r个向量η1,..., η(n-r).
由这n-r个向量线性无关, 它们可扩充为全空间的一组基, 设为: ε1,..., εr, η1,..., η(n-r).
取矩阵T以它们为列向量, 则T可逆.
于是对B = T'AT, 有r(B) = r(T'AT) = r(A) = r.
由A' = -A, 有B' = T'A'T = -T'AT = -B, 即B反对称.
而由η1,..., η(n-r)是AX = 0的解, 可知B的后n-r列为0, 于是其下n-r行也为0.
B具有分块形式[C,0;0,0], 其中C为r阶反对称阵.
r(C) = r(B) = r, 故C为满秩反对称阵, r为偶数.
即得反对称阵的秩为偶数.