求不定积分 (1) ∫xe^-xdx (2) ∫x^3lnxdx (3) ∫xln(x+1)dx
问题描述：
求不定积分 (1) ∫xe^-xdx (2) ∫x^3lnxdx (3) ∫xln(x+1)dx
答
1, ∫xe^-xdx=-∫xde^(-x)=xe^(-x)-∫e^(-x)dx=-[xe^(-x)+e^(-x)]+c=-e^(-x)(x+1)+c
2, ∫x^3lnxdx=[∫lnxdx⁴]/4=[x⁴lnx-∫x⁴dlnx]/4=[x⁴lnx-x⁴/4]/4+c=[x⁴(lnx-1/4)]/4+c
3, ∫xln(x+1)dx =[∫ln(x+1)dx²]/2=[x²ln(x+1)-∫x²dln(x+1)]/2==[x²ln(x+1)-∫x²/(x+1)dx)]/2
=[x²ln(x+1)-∫(x²-1+1)/(x+1)dx]/2=[x²ln(x+1)-∫(x-1)dx-∫1/(x+1)dx]/2
=[x²ln(x+1)-x²/2+x-ln(x+1)]/2+c
答
(1)∫xe^-x dx=-∫x d(e^-x)=-xe^(-x)+∫e^-x dx=-xe^(-x)-e^(-x)+C=-(x+1)e^(-x)+C(2)∫x³lnx dx=∫lnx d(x⁴/4)=(1/4)x⁴lnx-(1/4)∫x⁴d(lnx)=(1/4)x⁴lnx-(1/4)∫x³ dx=(1/4)x...