已知a,b是正实数,a+b=2,n为正整数,则(1+a的n次方)分之一+(1+b的n次方)分之一的最小值为

问题描述:

已知a,b是正实数,a+b=2,n为正整数,则(1+a的n次方)分之一+(1+b的n次方)分之一的最小值为
先证:【(1+a的n次方)分之一+(1+b的n次方)分之一】大于等于一,

{【(1+a的n次方)分之一+(1+b的n次方)分之一】大于等于一 ←→(1+a的n次方)*(1+b的n次方)←→ (ab)^n≤1},由a+b=2,得4ab≤(a+b)^2=4,所以0<ab≤1,∴(ab)^n≤1,当a=b=1时,最小值为一.
这{ }的几步是怎么来的?

1/(1+a^n)+1/(1+b^n)>=1
通分
1+a^n+1+b^>=(1+a^n)*(1+b^n)
展开后消去同类项就得到
1>=a^nb^n
即1>=(ab)^n
而ab=[(ab)^1/2]^2