如图,在半径为R,圆心角为60°的扇形AB弧上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上,点M,N在OB上.设∠POB=a,矩形PNMQ的面积为S.求: (1)S关于a的函数表达式S(a),并写出其定

问题描述:

如图,在半径为R,圆心角为60°的扇形AB弧上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上,点M,N在OB上.设∠POB=a,矩形PNMQ的面积为S.求:

(1)S关于a的函数表达式S(a),并写出其定义域;
(2)S(a)的最大值及相应的a的值.

(1)∵扇形AB的半径为R,圆心角为60°
且∠POB=a,矩形PNMQ面积为S.
由题设可得S=Rsinα(Rcosα-

3
3
Rsinα).
化简得:S=
3
3
R2sin(2α+
π
6
)-
3
6
R2,α∈(0,
π
3

(2)当α=
π
6
,即∠AOP=
π
6
时,
S取最大值
3
6
R2