f(x)在负无穷到正无穷是可微的凸函数,且有界,证明f(x)是常数.
问题描述：
f(x)在负无穷到正无穷是可微的凸函数,且有界,证明f(x)是常数.
答
f(x)是(-∞,+∞)上可微的凸函数,所以f'(x)在(-∞,+∞)上单调递增的又f(x)有界,设|f(x)|0,则f(x)=∫[a->x]f'(t)dt+f(a)当x>a时有,f'(x)≥f'(a).所以f(x)≥∫[a->x]f'(a)dt+f(a)=(x-a)f'(a)+f(a)令x->+∞,得f(x)->∞,...我们还没学积分，有些地方能不能改一下可以，同样由可微凸，知f'(x)在R上是单调递增的假设存在a，使得f'(a)≥0，则x>a时，有f'(x)>f'(a)≥0，即x>a时，f(x)单调递增，又f(x)有界，∴极限lim[x->+∞]f(x)存在设该极限为A，则对任意ε>0,存在t>a，当x>t时，|f(x)-A|对任意x,y>t>a时，有|f(x)-f(y)|0，得f'(a)=0同理，若存在b，使得f'(b)≤0，则x-∞]f(x)存在设该极限为B，则对任意ε>0,存在t对任意x,y