已知函数f(x)=2x3-3ax2+1. (1)若x=1为函数f(x)的一个极值点,试确定实数a的值,并求此时函数f(x)的极值; (2)求函数f(x)的单调区间.

问题描述:

已知函数f(x)=2x3-3ax2+1.
(1)若x=1为函数f(x)的一个极值点,试确定实数a的值,并求此时函数f(x)的极值;
(2)求函数f(x)的单调区间.

(1)∵f(x)=2x3-3ax2+1,∴f'(x)=6x2-6ax.依题意得f'(1)=6-6a=0,解得a=1.
所以f(x)=2x3-3x2+1,f'(x)=6x(x-1).令f′(x)=0,解得x=0或x=1.列表如下:

x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
所以当x=0时,函数f(x)取得极大值f(0)=1;
当x=1时,函数f(x)取得极小值f(1)=0.
(2)∵f′(x)=6x2-6ax=6x(x-a),
∴①当a=0时,f′(x)=6x2≥0,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
②当a>0时,f′(x)=6x(x-a),f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,a) a (a,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
由上表可知,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增;
③同理可得,当a<0时,函数f(x)在(-∞,a)上单调递增,在(a,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
综上所述,当a=0时,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞);
当a>0时,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(a,+∞),单调递减区间是(0,a);
当a<0时,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,a)和(0,+∞),单调递减区间是(a,0).