蝴蝶定理的内容及证明过程?

蝴蝶定理
自从学习几何画板以来,我一直在思索着这样一个问题：怎么才能把“蝴蝶定理”推广一下.
我想,能不能把“蝴蝶定理”中的圆由一个变为两个,相应的,还保持一种美妙的性质呢?如图I,是“蝴蝶定理”,有结论EP=PF；如图II,是“蝴蝶定理”的演变,点P,Q,R,S是否也存在某种关系呢?
我在课下做了一个比较精确的图,并进行了测量,进而提出了猜测：QM*PM = MS*MR,或者QM+PM = MS+MR.我又做了几个图进行检验,结果误差都比较小.上机时,利用几何画板做了一个动画,发现误差变化范围很大.我就开始怀疑这个结论.但是我并不死心.我又进行了测算,终于发现等式：成立,其误差在千分位之后.而后给出了一个数学上的证明.
这件事使我感觉到几何画板有以下几个妙处：比手工做图方便、精确、直观、连续.
如图I,取圆O内一条弦的中点P,过P点作AB、CD交圆于A、B、C、D点,连AD、BC交弦于E、F点,则EP=PF.这就是著名的“蝴蝶定理”.
题目：过圆心O的两个同心圆内弦中点M作两条直线交圆于A、B、C、D、E、F、G、H,连AF、BE、CH、DG分别交弦于点P、Q、R、S,则有等式：成立.这就是蝴蝶定理的推广.
证明：引理,如右图,有结论
由及正弦定理即可得到：
原结论
作OM1AD于M1,OM2EH于M2,
于是,MA - MD = MB - MC = 2MM1 = 2Msin；
MH - ME = MG - MF = 2MM2 = 2Msin
且MA*MD = ME*MH,MB*MC = MF*MG,代入上式,又
故原式成立
证毕.
关于“广义蝴蝶定理”的认识是在自己数学知识的基础上,借助于GSP而独立完成的.抛开广义蝴蝶定理自身的意义不论,单凭其处理问题的过程：推测、猜想、验证、论证,这不能不说是为中学数学教育留下某种思考,对中学生创造力的培养提供某种借鉴.