过抛物线y2=4x上一点P(4,4),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA与PB的斜率存在且互为相反数, (1)求y1+y2的值; (2)证明直线AB的斜率是非零常数.

问题描述:

过抛物线y2=4x上一点P(4,4),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA与PB的斜率存在且互为相反数,
(1)求y1+y2的值;
(2)证明直线AB的斜率是非零常数.

(1)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB
由y12=4x1,故kPA

y1−4
x1−4
4
y1+4
(x1≠4),
同理可得kPB
4
y2+4
(x2≠4)

由PA,PB斜率互为相反数可得kPA=-kPB
4
y1+4
=−
4
y2+4

化为y1+y2=-8;
(2)设直线AB的斜率为kAB
由y22=4x2,y12=4x1
kAB
y2y1
x2x1
y2y1
y22
4
y12
4
4
y1+y2
4
−8
=−
1
2
(常数).