已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k=(  )A. 13B. 23C. 23D. 223

问题描述:

已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k=(  )
A.

1
3

B.
2
3

C.
2
3

D.
2
2
3

设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2
直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点P(-2,0)
如图过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,
由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,
点B为AP的中点、连接OB,
|OB|=

1
2
|AF|,
∴|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,
故点B的坐标为(1,2
2
)∴k=
2
2
−0
1−(−2)
2
2
3

故选D
答案解析:根据直线方程可知直线恒过定点,如图过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,根据|FA|=2|FB|,推断出|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB,进而可知|OB|=
1
2
|AF|
,进而推断出|OB|=|BF|,进而求得点B的横坐标,则点B的坐标可得,最后利用直线上的两点求得直线的斜率.
考试点:抛物线的简单性质.

知识点:本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了对抛物线的基础知识的灵活运用.