a^2+2b^2=6,求a+b之最小值
问题描述：
a^2+2b^2=6,求a+b之最小值
我已从高手处知解法,不过对于自己的解法为何不行有疑问.
我令a+b=t,b=t-a.a^2+2(t-a)^2-6=0.从而2t^2+3a^2-4ax-6=0.此为二次函数,则当t=-b/2a时,t有最小值.结果是t=a+b=a.则b=0.
我哪里搞错了?
答
我也是用判别式法.你看对不对：
设a+b＝t,则a＝t-b.[1]
代入条件得：(t-b)^2+2b^2=6,
3b^2-2tb+(t^2-6)=0.[2]
∵b是实数,∴判别式Δ≥0,
即4t^2-12(t^2-6)≥0,
化简得：t^2≤9,
∴-3≤t≤3.
当t＝-3时,由[2]得b=-1,代入[1]得a=-2.
所以a+b的最小值是-3(当a=-2,b=-1时取到）.
解法2：三角换元法
a^2+2b^2=6→(a^2)/6+(b^2)/3＝1,
设a=(根6)cosx,b=(根3)sinx,这里x∈R.
a+b=(根3)sinx+(根6)cosx
=根号下[(根3)^2+(根6)^2]sin(x+θ).[1]
=3sin(x+θ),(其中θ是辅助角)
而sin(x+θ)的最小值是-1,
所以a+b的最小值是-3.
说明：[1]式用到公式：asinx+bcosx=根号(a^2+b^2)*sin(x+θ),
其中“辅助角θ”满足条件“tanθ=b/a”,而辅助角θ的象限位置由点(a,b)的象限位置决定.