定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=(  ) A.335 B.338 C.1678 D.201

问题描述:

定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=(  )
A. 335
B. 338
C. 1678
D. 2012

∵f(x+6)=f(x),
∴f(x)是以6为周期的函数,
又当-1≤x<3时,f(x)=x,
∴f(1)+f(2)=1+2=3,f(-1)=-1=f(5),f(0)=0=f(6);
当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2
∴f(3)=f(-3)=-(-3+2)2=-1,
f(4)=f(-2)=-(-2+2)2=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1+2-1+0+(-1)+0=1,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)
=[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)]+f(2011)+f(2012)
=335×1+f(1)+f(2)
=338.
故选B.