过点A(-1,10)且被圆x2+y2-4x-2y-20=0截得的弦长为8的直线方程是______.

问题描述:

过点A(-1,10)且被圆x2+y2-4x-2y-20=0截得的弦长为8的直线方程是______.

圆x2+y2-4x-2y-20=0化为标准方程为(x-2)2+(y-1)2=25
当所求直线的斜率存在时,设为k,则直线方程为y-10=k(x+1),即kx-y+k+10=0
∴圆心(2,1)到直线的距离d=

|2k−1+k+10|
k2+1
|3k+9|
k2+1

又∵弦长为8,圆半径r=5,∴弦心距d=3,
|3k+9|
k2+1
=3

k=−
4
3

∴此时直线方程为4x+3y-26=0
当所求直线的斜率不存在时,方程为x+1=0,此时圆心(2,1)到直线的距离为3,弦长为8
综上所述,所求直线的方程为4x+3y-26=0或x=-1.
故答案为:4x+3y-26=0或x=-1
答案解析:由于所求直线过点A(-1,10),故可设出直线的点斜式方程,然后根据弦心距、半弦长、半径构成直角三角形,满足勾股定理,求出k值,进而得到直线方程,但点斜式不能表示与Y轴平行的直线,故还要讨论直线斜率不存在的情况.
考试点:直线和圆的方程的应用;直线的一般式方程.
知识点:本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用,直线的一般式方程,其中在求直线方程时,要讨论一个直线斜率不存在的情况,这是本题的易忽略点.