已知圆C的方程为:x2+y2-2mx-2y+4m-4=0,(m∈R).(1)试求m的值,使圆C的面积最小;(2)求与满足(1)中条件的圆C相切,且过点(1,-2)的直线方程.
问题描述:
已知圆C的方程为:x2+y2-2mx-2y+4m-4=0,(m∈R).
(1)试求m的值,使圆C的面积最小;
(2)求与满足(1)中条件的圆C相切,且过点(1,-2)的直线方程.
答
配方得圆的方程:(x-m)2+(y-1)2=(m-2)2+1
(1)当m=2时,圆的半径有最小值1,此时圆的面积最小.
(2)当m=2时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1
设所求的直线方程为y+2=k(x-1),即kx-y-k-2=0
由直线与圆相切,得
=1,k=|2k−1−k−2|
k2+1
4 3
所以切线方程为y+2=
(x−1),即4x-3y-10=04 3
又过点(1,-2)且与x轴垂直的直线x=1与圆也相切
所发所求的切线方程为x=1与4x-3y-10=0.
答案解析:(1)通过配方先将圆的一般方程化成标准方程,利用二次函数的最值,可得m的值.
(2)根据(1)的结论确定圆的方程,然后设出直线方程,利用直线与圆相切的条件,建立关系,求得直线方程.
考试点:圆方程的综合应用;直线与圆的位置关系.
知识点:本题考查了圆的方程以及直线与圆的位置关系,同时考查了二次函数的最值问题,在求直线方程时注意考虑斜率不存在的情况,是个基础题.