如图,在直-棱柱ABO-A′B′O′中,OO′=4,OA=4,OB=3,∠AOB=90°,D是线段A′B′的中点,P是侧棱BB′上的一点,若OP⊥BD,求OP与底面AOB所成角的大小(结果用反三角函数值表示)
问题描述:
如图,在直-棱柱ABO-A′B′O′中,OO′=4,OA=4,OB=3,∠AOB=90°,D是线段A′B′的中点,P是侧棱BB′上的一点,若OP⊥BD,求OP与底面AOB所成角的大小(结果用反三角函数值表示)
答
如图,以O点为原点建立空间直角坐标系.
由题意,有B(3,0,0),D (
, 2 , 4 ).3 2
设P(3,0,z),则
={ −BD
, 2 , 4 },3 2
={ 3 , 0 , z }.OP
∵BD⊥OP,∴
•BD
=−OP
+4z=0.z=9 2
.9 8
∵BB′⊥平面AOB,
∴∠POB是OP与底面AOB所成的角.tan∠POB=
,3 8
∴∠POB=arctan
.3 8