如图,在直-棱柱ABO-A′B′O′中,OO′=4,OA=4,OB=3,∠AOB=90°,D是线段A′B′的中点,P是侧棱BB′上的一点,若OP⊥BD,求OP与底面AOB所成角的大小(结果用反三角函数值表示)

问题描述:

如图,在直-棱柱ABO-A′B′O′中,OO′=4,OA=4,OB=3,∠AOB=90°,D是线段A′B′的中点,P是侧棱BB′上的一点,若OP⊥BD,求OP与底面AOB所成角的大小(结果用反三角函数值表示)

如图,以O点为原点建立空间直角坐标系.
由题意,有B(3,0,0),D ( 

3
2
 , 2 , 4 ).
设P(3,0,z),则
BD
={ −
3
2
 , 2 , 4 }

OP
={ 3 , 0 , z }

∵BD⊥OP,∴
BD
OP
=−
9
2
+4z=0
.z=
9
8

∵BB′⊥平面AOB,
∴∠POB是OP与底面AOB所成的角.tan∠POB=
3
8

∠POB=arctan
3
8