正方体ABCD-A1B1C1D1,棱长为a,过顶点BDA1,截一三棱锥.求此三棱锥的体积以BDA1为底面时,求此三棱锥的高

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:00:45

问题描述：

答

这是一个将正方体切一个角而得出的特殊三棱锥,三棱锥的摆放角度不同,求其体积的过程的复杂程度亦不同(如此题中的三棱锥可以写成A-BDA1,也可以写成A1-ABD),可先利用已知的正方体的棱长求此三棱锥的体积,然后再将其换一角度摆放,进而求出此种状态下的高.

如图

过顶点BDA1截得的三棱锥A1-ABD的体积为：

V锥A1-ABD=1/3*S△ABD*AA1=1/3*1/2*AB*AD*AA1=1/6*a³

当以面BDA1为底面时,根据体积不变可知：

V锥A-BDA1=V锥A1-ABD=1/6*a³

V锥A-BDA1=1/3*1/2*S△BDA1*AH=1/3*1/2*BD*A1O*AH=1/6*√2a*√6/2a*AH=√3/6a²*AH

∴AH=(1/6*a³)/(√3/6a²)=√3/3a

正方体ABCD-A1B1C1D1,棱长为a,过顶点BDA1,截一三棱锥.求此三棱锥的体积 以BDA1为底面时,求此三棱锥的高