在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,H是△ABC的垂心求证:(1)PH⊥底面ABC   (2)△ABC是锐角三角形.

问题描述:

在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,H是△ABC的垂心
求证:(1)PH⊥底面ABC   (2)△ABC是锐角三角形.

证明:(1)连接AH并延长交BC于一点E,连接PH,由于PA,PB,PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC,而BC⊂面PBC,∴BC⊥PA,又H是三角形ABC的垂心,故AE⊥BC,又AE∩PA=A,∴BC⊥面PAE,而PH⊂面PAE,∴PH⊥BC,同理可以证明...
答案解析:对于问题(1),由三条侧棱PA,PB,PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC,进而得到PA⊥BC,由H是△ABC的垂心,得到BC⊥AE,从而得到PH⊥BC,同理可证PH⊥AC,从而得到证明;对于问题(2)可以通过余弦定理解决.
考试点:直线与平面垂直的判定;棱锥的结构特征.
知识点:本题考查直线与平面垂直的证明法:利用判定定理证明;以及解三角形的有关理论,第二问在立体几何中考查平面几何问题,要注意在空间的某个平面内,平面几何的有关定理、公式等结论仍然成立.