已知点p在三角形ABC所在平面内,向量PA*PB=PB*PC=PC*PA,如何证明p是三角形的垂心?
问题描述：
已知点p在三角形ABC所在平面内,向量PA*PB=PB*PC=PC*PA,如何证明p是三角形的垂心?
答
因为PA*PB=PB*PC 所以PA*PB-PB*PC=0 PB*(PA-PC)=0 PB*CA=0 所以PB与CA垂直同理可证PA垂直于BC，PC垂直于AB 所以点P是三角形ABC的垂心。 ..
答
∵向量PA·向量PB＝向量PC·向量PA, ∴向量PA·向量PB－向量PA·向量PC＝0,
∴向量PA·（向量PB－向量PC）＝0, ∴向量PA·向量CB＝0, ∴向量PA⊥向量CB,
∴PA⊥CB.
同理,由向量PA·向量PB＝向量PB·向量PC,可得：PB⊥CA.
由PA⊥CB、PB⊥CA,得：点P是△ABC中CB、CA边上高的交点, ∴点P是△ABC的垂心.