已知椭圆x²／a²＋y²／b²＝1﹙a＞b＞0﹚的离心率为√6/3
问题描述：
已知椭圆x²／a²＋y²／b²＝1﹙a＞b＞0﹚的离心率为√6/3
过椭圆上一点M做直线MA,MB,交椭圆于AB两点,且斜率分别为k1k2若AB关于原点对称,则k1*k2的值为
答
已知椭圆x²／a²＋y²／b²＝1﹙a＞b＞0﹚的离心率为√6/3；过椭圆上一点M做直线MA,MB,交椭圆于AB两点,且斜率分别为k1k2若AB关于原点对称,则k₁K₂的值为
e=c/a=√6/3,e²=c²/a²=(a²-b²)/a²=2/3,3a²-3b²=2a²,故b²=(1/3)a²,于是得椭圆方程为：
x²/a²+3y²/a²=1,即有x²+3y²=a².(1)
设M点的坐标为(m,n)；A点的坐标为(x₁,y₁),那么B点的坐标为(-x₁,-y₁).
MA所在直线的斜率K₁=(n-y₁)/(m-x₁)；MB所在直线的斜率k₂=(n+y₁)/(m+x₁)
故K₁k₂=(n²-y²₁)/(m²-x²₁).(2)
其中,x²₁=a²-3y²₁；m²=a²-3n²；代入(2)式得：
K₁K₂=(n²-y²₁)/[(a²-3n²)-(a²-3y²₁)]=(n²-y²₁)/[-3(n²-y²₁)]=-1/3.