已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边长为5． （1）试说明方程必有两个不相等的实数根； （2）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三
问题描述：
已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边长为5．
（1）试说明方程必有两个不相等的实数根；
（2）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（3）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
答
（1）证明：∵△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1，
∴△＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2﹚当△ABC是以BC为斜边的直角三角形时，有AB2+AC2=BC2
又∵BC=5，两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根．
∴AB2+AC2=25，AB+AC=2k+3，AB•AC=k2+3k+2，
由（AB+AC）2-2AB•AC=25
∴（2k+3）2-2•（k2+3k+2）=25
∴k2+3k-10=0，（k-2）（k+5）=0，
∴k1=2或k2=-5
又∵AB+AC=2k+3＞0
∴k2=-5舍去
∴k=2；
（3）∵△ABC是等腰三角形；
∴当AB=AC时，△=b2-4ac=0，
∴（2k+3）2-4（k2+3k+2）=0
解得k不存在；
当AB=BC时，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k2+3k+2，
解得k=3或4，
∴AC=4或6
∴△ABC的周长为14或16．