举例说明在小学数学教学中如何渗透集合的概念

在小学数学教学中如何渗透集合思想的几点做法

集合是近代数学中的一个重要概念.集合思想是现代数学思想向小学数学渗透的重要标志,在解决某些数学问题时,若是运用集合思想,可以使问题解决得更简单明了.集合论的创始人是德国的数学家康托（1845——1918）,其主要思想方法可归结为三个原则,即概括原则、外延原则、一一对应原则.自集合论创立以来,它的概念、思想和方法已经渗透到现代数学的各个分支中,成为现代数学的基础.瑞士数学家欧拉（1707——1787）最早使用了表示两个非空集之间的关系的图,现称欧拉图.英国数学家维恩最早使用了另一种图即可以用于表示任意的几个集合（不论它们之间的关系如何,都可以画成同一样式）,又称“维恩图”,用维恩图表示集合,有助于探索某些数学题的解决思路.
布鲁纳曾说,掌握基本的数学思想方法能使数学更易于理解和记忆,领会基本数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”.数学思想方法不但对学生学习具有普遍的指导意义,而且有利于学生形成科学的思维方式和思维习惯.
集合思想包括概念、子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一一对应思想等,作为数学思想方法的一种,在教学中是具有很大的指导意义的.那么,在小学数学教学中我们应该如何应用集合思想进行教学活动呢?
一、集合概念在小学数学教学中的应用
集合思想的概念在教学中是不必向学生作解释的,教师主要指导学生看懂集合图的意思,会根据集合图来解题或者帮助解题.图形本身直观地应用了集合的表示方法——图示法,因此在小学低年级中运用这个方法对于教学是很有帮助的.
在认数教学中,教师要结合各种集合图,可以是选用书本上的,也可以是选用一些生活中常见的事物自己画.同时还可以反过来给学生一个数字,让学生画集合图,这样既可以让学生开动脑筋发挥自己的想象,也可以让学生更了解集合中的元素与基数概念的联系.
在日常教学中,教师还要让学生理解一些用来描述集合的常用术语,如“一些”、“一堆”、“一组”、“一群”等.比如说,在小学数学教材北师大版一年级（上册）的第四单元分类中,就出现了这么一张图,让学生观察,要求把玩具放一堆,文具放一堆,服装鞋帽放一堆,这种把具有同一种属性的东西放在一起,这就是集合的整体概念.
在认识0-10的十一个数字中,每个数字都有一张相应的集合图,也就是告诉学生,一个集合中有几个元素就用“几”来表示.如北师大版一年级（上册）第4页找一找的活动中“1”可以表示图里的一座房子；“2”可以表示图里的两个人.这就很形象的把集合中的元素与基数的概念有机的联系起来.
二、子集、交集、并集、差集、空集思想在小学数学教学中的应用
1、子集思想在小学数学教学中的应用
教学数的大小这一问题时,就可以应用子集思想.如北师大版二年级(下册)第36页试一试中,给出一些数,组成一个数的集合,元素有387、99、809、 345、1725、4300等.同时给出要求,先把给出的数分类,再比较大小.这把数分类就相当于是把整个数的集合中的元素,按要求分别把他们放入三个子集合中.（如下图） 对于这类问题,应用集合思想就能让学生非常直观、容易地理解.
2、 交集思想在小学数学教学中的应用
如有这么一道应用题：一个班有48人.班主任在班会上问：“谁做完了数学作业?”这时有42人举手.又问：“谁做完了语文作业?”这时有37人举手.最后又问：“谁语文、数学作业都没有做完?”没有人举手.请问：这个班语文、数学作业都做完的有几人?
一看这道题就会想到要用维恩图来算比较简单.画一个长方形表示全集,完成语文作业的学生集合（A）,完成数学作业的学生集合（B）,A、B有相交部分
因为A内的两部分表示人数和就是完成语文作业的人数（37人）,所以A外、B内的那部分表示的人数为48-37=11（人）,者是 完成了数学作业但没有完成语文作业的人数.因此,语文、数学两种作业都完成了的人数是42-11=31人.
教学公约数、公倍数这一内容时,也通常应用交集思想,如 ：
12的约数18的约数
3、并集思想在小学数学教学中的应用
在小学一年级的教材中,并集被用于说明加法的意义,如北师大版一年级（上册）第22页解决“有几只铅笔”这个问题,一幅图中小朋友左手里拿了两只铅笔,右手里拿了三只铅笔,另一幅中小朋友把两只手合在一起,就是把左手和右手中的铅笔并在一起.2＋3＝5（只）
还有北师大版一年级(上册)第68页11～20各数的认识中,对于“11”,先把10根小棒捆成一捆,组成十位上的“1”,然后再数1根组成“11”了.同理在教学12、13、14、15等数时,也都应该采用并集思想.
又如,北师大版一年级(上册)第72页:9＋5＝? 教材中显示把5根小棒分成1根和4根,把1根和9根结合在一起,组成十根捆在一起,作为十位上的“1”,这也运用了并集思想.
4、差集思想在小学数学教学中的应用
在小学一年级的教材中,差集被用于说明减法的意义.如北师大版一年级（上册）第26页“摘果子”树上原有5个苹果,被小朋友摘走2个,就剩下树上（集合）的3个苹果（元素）：5－2＝3（个）
又比如说还是本页的“做一做”：图中总共有5个圆圈,其中4个圆圈用线划去,表示去掉的,就剩下5－4＝1（个）了.在教材中一般用线划去或虚线圈起来的都是要剪掉的部分.
5、空集思想在小学数学教学中的应用
空集表示这个集合没有元素.空集思想的应用主要出现在教学“0”的时候,如北师大版一年集（上册）第8页“小猫钓鱼”,每只小猫的袋子表示集合,袋子里的鱼表示元素.第一幅图里,袋子里有三条鱼,该集合里有3个元素；第二幅图里,袋子里有两条鱼,该集合里有2个元素；第三幅图里,袋子里有一条鱼,该集合里有1个元素；第四幅图里,袋子没有鱼,该集合中没有元素,也就是空集.
三、一一对应思想在小学数学教学中的应用
一一对应思想在教材中体现的较多,在比较两个集合所包含的元素的多少时就一定得用建立一一对应关系的方法来解决,同时,“一一对应”思想也是现代函数思想的基础.一一对应思想在小学数学教材中主要以两种形式呈现：第一种是比多少,第二种是由一个集合经过对应法则得到另一个集合.
在教学比多少时,教师首先要把集合中的元素一一的排列起来.如北师大版一年级（上册）第43页：
比 多
比 少
在教学第二种情况,一个集合经过对应法则得到另一个集合时,教师要向学生解释清楚对应法则是对已给出的集合中的每一个元素都起作用的.
如人教版三年级（下册）第23页
这类算式与算式的配对,也正是一一对应思想的应用.
数学教育学家波利亚说过：“数学教师的首要责任是尽其一切可能,来发展学生解决问题的能力.”教师在问题探索的教学中不能就题论题,授之以“渔”远比授之以“鱼”来的重要.这个“渔”就是指隐含于数学问题探索中的数学思想方法.学生只有逐步形成用数学思想方法指导思维活动,才会在遇到其它问题时胸有成竹,从容对待.新课标也指出：结合有关知识的教学,适当的渗透集合、函数等数学思想方法,以加深对基础知识的理解.作为数学教师,在教学中应当大胆地应用集合思想,让学生在学习中获得对集合思想的感性认识,并逐步形成运用集合思想的观念.