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已知a，b，c是不全相等的正数，求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）＞16abc．

分类: 作业答案 • 2022-01-07 12:24:13
问题描述：

已知a，b，c是不全相等的正数，求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）＞16abc．

答

证明：∵ab+a+b+1=（a+1）•（b+1），ab+ac+bc+c2=（a+c）•（b+c），
∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）=（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），
∵a，b，c是正数，
∴a+1≥2

a
＞0，b+1≥2
b
＞0，a+c≥2
ac
＞0，b+c≥2
bc
＞0，
又a，b，c是不全相等的正数，
∴（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）＞2
a
×2
b
×2
ac
×2
bc
=16abc，
∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）＞16abc．

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