已知二次函数f(x)=ax2-bx+1.(1)若f(x)<0的解集是(14,13),求实数a,b的值;(2)若a为正整数,b=a+2,且函数f(x)在[0,1]上的最小值为-1,求a的值.

问题描述:

已知二次函数f(x)=ax2-bx+1.
(1)若f(x)<0的解集是(

1
4
1
3
),求实数a,b的值;
(2)若a为正整数,b=a+2,且函数f(x)在[0,1]上的最小值为-1,求a的值.

(1)不等式ax2-bx+1>0的解集是(

1
4
1
3
),
故方程ax2-bx+1=0的两根是x1=
1
4
,x2=
1
3

所以
1
a
=x1x2=
1
12
b
a
=x1+x2=
7
12

所以a=12,b=7.
(2)∵b=a+2,
∴f(x)=ax2-(a+2)x+1=a(x-
a+2
2a
2-
(a+2)2
4a
+1,
对称轴x=
a+2
2a
=
1
2
+
1
a

当a≥2时,x=
a+2
2a
=
1
2
+
1
a
∈(
1
2
,1],
∴f(x)min=f(
a+2
2a
)=1-
(a+2)2
4a
=-1,∴a=2;
当a=1时,x=
a+2
2a
=
1
2
+
1
a
=
3
2
,∴f(x)min=f(1)=-1成立.
综上可得:a=1或a=2.
答案解析:(1)由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系可以得出,ax2-bx+1=0的解是x1=
1
4
,x2=
1
3
,由根系关系即可求得实数a,b的值;
(1)将已知中函数f(x)化为顶点式的形式,再结合函数f(x)的最小值为-1,易得一个关于a的方程,解方程即可求出答案.
考试点:一元二次不等式的解法;二次函数在闭区间上的最值.
知识点:本题考查的知识点是二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值,其中熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键.