可分离变量的微分方程求微分方程dx+xydy=y^2dx+ydy的通解.其中有一步:两端积分 ∫y/y^2-1dy=∫1/(x-1)dx得 1/2lny^2-1=lnx-1+lnC为什么∫1/(x-1)dx算出来是lnx-1+lnC?
问题描述：
可分离变量的微分方程
求微分方程dx+xydy=y^2dx+ydy的通解.
其中有一步:
两端积分 ∫y/y^2-1dy=∫1/(x-1)dx
得 1/2lny^2-1=lnx-1+lnC
为什么∫1/(x-1)dx算出来是lnx-1+lnC?
答
少了括号
两边积分∫y/(y^2-1)dy＝∫1/(x-1)dx
得1/2×ln(y^2-1)＝ln(x-1)＋1/2lnC
等式的前两部分的对数都没有加绝对值,所以常数项用lnC,一是为了容易消去对数运算,二是把y^2-1,x-1的正负号都放到C中去,即消去对数运算后,C的取值只要没有限制就任意取值,可正可负可以为零
结果是y^2－1＝C(x-1)^2,C是任意实数