不等式证明的一道题
问题描述：
不等式证明的一道题
已知a≥-1/2,b≥-1/2且a+b=1,求证√（2a+1）+√（2b+1）≤2√2
√是平方根
答
不等式两边平方,则有
(√（2a+1）+√（2b+1）)^2
=2a+1+2b+1+2√(（2a+1）*（2b+1）)
=4+2√(（2a+1）*（2b+1）)≤8
只须证明√(（2a+1）*（2b+1）)≤2 成立
只须证明（2a+1）*（2b+1）≤4 成立
（2a+1）*（2b+1）=4ab+2a+2b+1=4ab+3≤4
只须证明a*b≤1/4
a+b=1
a和b不可能同时为负值
当a和b中有一个负值时,必有一为正值,该不等式成立
当a和b同时为正值时
1=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab>=2ab+2ab=4ab
则有a*b≤1/4成立
得证