若方程|sinx|+cos|x|-a=0,在[-π,π]上有4个解,求a的取值范围.

问题描述:

若方程|sinx|+cos|x|-a=0,在[-π,π]上有4个解,求a的取值范围.

|sinx|+cos|x|-a=0,在[-π,π]上有4个解
⇔a=|sinx|+cos|x|,x∈[-π,π]有4个交点
令y=|sinx|+cos|x|,x∈[-π,π]=

sinx+cosx    x∈[0,π]
−sinx+cosx    x∈[−π,0)
=
2
sin(x+
π
4
)
2
cos(x+
π
4
)

图象如图所示:
故a的取值范围是:1<a<
2

答案解析:将a分离出来,得到a=|sinx|+cos|x|,若方程|sinx|+cos|x|-a=0,在[-π,π]上有4个解,
即函数y=a和y=|sinx|+cos|x|,x∈[-π,π]有4个交点即可.故问题转化为研究y=|sinx|+cos|x|,x∈[-π,π]的图象问题.因为函数中含有绝对值,故可分段讨论.
考试点:根的存在性及根的个数判断.
知识点:本题考查方程根的个数问题,方程根的个数问题,往往转化为函数图象交点的个数问题.考查转化思想和数形结合思想.