已知tan(α+β)=3tanα,求证:sin(2α+β)=2sinβ

问题描述:

已知tan(α+β)=3tanα,求证:sin(2α+β)=2sinβ

由tan(α+β)=3tanα得sin(α+β)cosα=3sinαcos(α+β),
即2sin(α+β)cosα=6sinαcos(α+β),
用和差化积公式(两角和与差的正弦公式相加、相减而得),可得
sin(2α+β)+sinβ=3[sin(2α+β)-sinβ],
即2sin(2α+β)=4sinβ,
所以sin(2α+β)=2sinβ.