在一个盒中装有若干支圆珠笔,其中有一等品、二等品、三等品之分,已知从盒中任意取出一支笔,是二等品的概率是2/5；从盒中任意取出2支笔,至少有一支是一等品的概率是7/9．⑴ 若盒*有10支笔,问盒中一等品、二等品、三等品分别有几支；⑵ 求证：从盒中任意取出2支笔,至少有一支是二等品的概率不大于7/10,并指出盒中哪种等级的笔最少．第一题已经做出来了,求第二小题的证法.
问题描述：
在一个盒中装有若干支圆珠笔,其中有一等品、二等品、三等品之分,已知从盒中任意取出一支笔,是二等品的概率是2/5；从盒中任意取出2支笔,至少有一支是一等品的概率是7/9．
⑴ 若盒*有10支笔,问盒中一等品、二等品、三等品分别有几支；
⑵ 求证：从盒中任意取出2支笔,至少有一支是二等品的概率不大于7/10,并指出盒中哪种等级的笔最少．
第一题已经做出来了,求第二小题的证法.
答
回答：
(1) 已知二等品有10x(2/5) = 4支。设一等品有x支，则有方程式
[x(10-x)+C(x, 2)]/C(10, 2) = 7/9.
解得x ＝ 5。于是，三等品有10-5-4 = 1 支。
(2) 根据(1)的结果，从盒中任意取出2支笔，至少有1支是二等品的概率等于
[4x6 + C(4, 2)]/C(10, 2) = 2/3 = 20/30 三等品最少。
答
设圆珠笔有5k只,那么二等品是2k只
从盒中任意取出2支笔,至少有一支是二等品的概率
p=1-3k/5k*(3k-1)/(5k-1)=16/25+6/25(5k-1)
k的取值是正整数
函数p是关于k的减函数
所以当k=1时,p有最大值16/25+6/100=7/10
所以p