导数 (14 14:19:55)

设函数f(x)=ax-b/x,曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式.
(2)证明：曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所为成的三角形面积为定植,并求此定植.
（1）f’(x)=a+b/x²
切线方程7x-4y-12=0斜率为7/4
由题意f’(2)=a+b/4=7/4 ……1）
又点（2,f(2))在切线7x-4y-12=0上
∴有7×2-4(2a-b/2)-12=0 ……2)
联立 1）、2）解得 a=1 b=3
即f（x）=x-3/x 为所求
（2）设（m,n）为y=f（x）上任意一点 则有 n=m-3/m ……①
由（1）可知 点f（x）在点（m,n）处切线斜率为k=1+3/m²
令通过（m,n）的f（x）切线方程为 y=（1+3/m²）x+ t
代入（m,n）得 n=（1+3/m²）m+t ……②
联立①② 得 t=-6/m
即切线方程为y=（1+3/m²）x-6/m ③
由题意
令x=0 得 y=-6/m
令y=x 得 x=y=2m
即切线y=（1+3/m²）x-6/m与直线x=0和直线y=x所为成的三角形面积
S=1/2×|-6/m|×|2m|=6 为定值