关于x的方程x2-(5k+1)x+k2-2=0,是否存在负数k,使方程的两个实数根的倒数和等于4?若存在,求出满足条件的k的值;若不存在,说明理由.

问题描述:

关于x的方程x2-(5k+1)x+k2-2=0,是否存在负数k,使方程的两个实数根的倒数和等于4?若存在,求出满足条件的k的值;若不存在,说明理由.

根据题意,得
x1+x2=5k+1,x1×x2=k2-2.

1
x1
+
1
x2
=
x1+x2
x1x2
=
5k+1
k2−2
=4.
∴4k2-8=5k+1.
解得k1=
9
4
,k2=-1.
经检验
9
4
和-1都是方程的根.
当k1=
9
4
,k2=-1,代入方程x2-(5k+1)x+k2-2=0的判别式时,△>0,
所以存在负数k=-1,满足条件.