计算星形线x=acos^3(t),y=asin^3(t)的全长?在一个坐标系画出一个棱形的图形,x轴的范围-a到a,y轴的范围是-a到a,我认为t的范围是0到pi/2,最终结果再乘以4,有谁知道12a是怎么求出来的吗？
问题描述：
计算星形线x=acos^3(t),y=asin^3(t)的全长?
在一个坐标系画出一个棱形的图形,x轴的范围-a到a,y轴的范围是-a到a,
我认为t的范围是0到pi/2,最终结果再乘以4,
有谁知道12a是怎么求出来的吗？
答
确实是只要计算第一象限部分的长度,再乘以4即可
首先,弧微分ds＝√[(dx)^2＋(dy)^2]＝√[(x')^2＋(y')^2]dt＝3a|sintcost|dt,x'、y'表示求导
其次,弧长s＝4∫(0,π/2) 3a|sintcost|dt＝12a∫(0,π/2) sintcostdt＝6a