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已知f（x）是二次函数，f'（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f'（x）=f（x+1）+x2恒成立，求f（x）的解析表达式．

分类: 作业答案 • 2022-01-04 12:33:46
问题描述：

已知f（x）是二次函数，f'（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f'（x）=f（x+1）+x2恒成立，求f（x）的解析表达式．

答

设f（x）=ax2+bx+c（其中a≠0），
则f'（x）=2ax+b，
∵f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c=ax2+（2a+b）x+a+b+c．
由已知，得2ax+b=（a+1）x2+（2a+b）x+a+b+c，
∴

a+1＝0
2a+b＝2a
a+b+c＝b
，解之，得a=-1，b=0，c=1，
∴f（x）=-x2+1．

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